Чем отличается определённый интеграл от неопределённого


/ Лекция 2

Мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых (и, следовательно, ограниченных) на конечных отрезках интегрирования. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на случаи, когда один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Несобственные интегралы от ограниченных функций

с бесконечными пределами интегрирования.

Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: .

Использование несобственных интегралов, позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для случая выглядит так:

Несобственный интегралчисленно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:

Раз фигура бесконечная, то , иными словами, площадь тоже бесконечна.Так быть может. В этом случае говорят, что несобственный интегралрасходится .

Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интегралсходится .

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каких сходится? Это зависит от подынтегральной функции .

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Мы рассматривали знакопостоянную функцию для простоты интерпретации. На самом деле, подынтегральная функция может быть знакопеременной.

Определение 1. Пусть на интервале задана функция , интегрируемая (следовательно, ограниченная) на любом отрезке , где . Тогда если существует , то он называется несобственным интегралом и обозначается .

В последнем случае предполагается, что интегрируема на любом отрезке; точку можно выбрать произвольно.

В чем отличие неопределенного интеграла от определенного? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию (неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела.

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл .

Таким образом, сходится при и расходится при .

Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида гипербола является своеобразным «порогом»: те кривые данного вида, которые на полуинтервале лежат ниже неё, ограничивают полубесконечную фигуру конечной площади; если же кривая лежит выше или совпадает с гиперболой.

то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь.

Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Такие несобственные интегралы называют несобственными интегралами второго рода. Несобственные интегралы второго рода коварно «шифруются» под обычный определенный интеграл и выглядят точно так же: . Но, в отличие от определенного интеграла, подынтегральная функция терпит разрыв второго рода:

в точке , 2) или в точке ,

3) или в обеих точках сразу, 4) или даже на отрезке интегрирования.

Определение 2. Пусть определена на , причем неограниченна в окрестности особой точки , но она ограничена и интегрируема на любом отрезке . Тогда если существует предел , то он называется несобственным интегралом и обозначается .

Если предела нет или он равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл от функции, неограниченной на верхнем пределе интегрирования: . Наконец, если неограниченна в окрестности особой точки , то

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. . При имеем .

Таким образом, сходится при и расходится при .

Свойства несобственных интегралов.

Если сходятся интегралы и , где и могут принимать значения , то

Несобственные интегралы в левых частях сходятся, и их значения равны выражениям в правых частях.

Рассмотрим . Пусть непрерывна на любом отрезке вида , где. Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Аналогичное утверждение можно сформулировать и для несобственных интегралов от неограниченных функций и конечного отрезка интегрирования.

Интегралы от знакопостоянных функций .

Все теоремы сформулированы для положительных функций, однако они справедливы для знакопостоянных функций.

А)Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Первая теорема сравнения. Пусть и определены на, интегрируемы на любом отрезке. где и , причем . Тогда:

если сходится. то сходится и ;

если расходится. то расходится и .

Вторая теорема сравнения. Пусть функции и определены на. и пусть существует . Тогда

Если , то и сходятся или расходятся одновременно.

Если , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Если , то из сходимости следует сходимость. а из расходимости следует расходимость .

Б)Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Первая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции и разрывны в точке.

и для каждого выполняется неравенство . Тогда если сходится. то сходится и ; если расходится. то расходится и .

Вторая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции и разрывны в точке. и пусть существует. Тогда:

Если. то и сходятся или расходятся одновременно.

Если. то из сходимости следует сходимость. а из расходимости следует расходимость .

Если. то из сходимости следует сходимость. а из расходимости следует расходимость .

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла Эйлера—Пуассона .

Решение. . Первый интеграл в правой части сходится. При . Так как , то по первой теореме сравнения интеграл сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Если , то . В качестве мажорирующей функции возьмем . Так как сходится, то сходится исходный интеграл.

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Подынтегральная функция в промежутке интегрирования положительна и при стремится к бесконечности. Пользуясь теоремой об эквивалентных бесконечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби. Имеем:

Откуда получаем эквивалентность функций

По признаку сравнения можно исследовать , который сходится.

Поэтому сходится и исходный интеграл.

Признаки сходимости для знакопеременных функций.

Формулировки приводятся для интегралов вида. но легко распространяются и на несобственные интегралы других типов.

Определение 3. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся . если сходится интеграл .

Определение 4. Если интеграл сходится, а интеграл – расходится, то интеграл называется условно сходящимся.

Теорема. Если сходится абсолютно, то он сходится.

Признак Дирихле. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:

функция дифференцируема и монотонно стремится к нулю с ростом ;

функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную.

Примеры функций с ограниченной первообразной: , , .

Признак Абеля. Несобственный интеграл сходится, если выполняются следующие условия:

функция непрерывна на и сходится;

функция ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на .

Утверждение. Если сходится интеграл. то абсолютно сходятся интегралы и .

Пример 7. Интеграл Френеля сходится, так как

Пример 8. Интеграл Дирихле сходится условно.

–расходится, так как . Первый интеграл суммы сходится. Рассмотрим второй интеграл:

Интеграл – сходится по признаку Дирихле:

3.2.1. Главное значение (в смысле Коши)

Если функция такова, что при любом существуют собственные интегралы

то под главным значением в смысле Коши (v.p.) понимается число



чем отличается определённый интеграл от неопределённого:/ Лекция 2 Мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых (и, следовательно, ограниченных) на конечных отрезках интегрирования. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на

чем отличается определённый интеграл от неопределённого